Главная » Рефераты    
рефераты Разделы рефераты
рефераты
рефераты скачатьГлавная
рефераты скачатьАстрология
рефераты скачатьГеография и экономическая география
рефераты скачатьМеждународные отношения и мировая экономика
рефераты скачатьАстрономия
рефераты скачатьСтроительство
рефераты скачатьСхемотехника
рефераты скачатьФилософия
рефераты скачатьФинансы
рефераты скачатьФотография
рефераты скачатьИскусство
рефераты скачатьЛитература
рефераты скачатьФилософия
рефераты скачатьАстрономия
рефераты скачатьГеография
рефераты скачатьИностранные языки
рефераты скачатьРазное
рефераты скачатьАвиация и космонавтика
рефераты скачатьКриминалистика
рефераты скачатьКриминология
рефераты скачатьКриптология
рефераты
рефераты Информация рефераты
рефераты
рефераты

Двойной интеграл - (реферат)

Двойной интеграл - (реферат)

Дата добавления: март 2006г.

    Двойной интеграл в полярных координатах
    Пусть в двойном интеграле
    (1)

при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая

    x = r cos j, y = r sin j. (2)

Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки DSi с помощью координатных линий r = ri (окружности) и j = ji (лучи) (рис. 1). Введем обозначения:

    Drj = rj+1 - rj,
    Dji = ji+1 - ji

Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейкиDSi с точностью до бесконечно малых высшего порядка

малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rjDji и Drj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна: DSi = rj Dji Drj (3)

Что касается ячеек DSij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать. В качестве точки Mij $ Sij для простоты выберем вершину ячейки DSij с полярными координатами rj и ji. Тогда декартовые координаты точки Mij равны: xij = rj cos ji, yij = rj sin ji.

    И следовательно,
    f(xij, yij) = f(rj cos ji, rj sin ji) (3')

Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым

интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'), получаем:

    (4)

где d - максимальный диаметр ячеек DSijи сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величиныji и rjсуть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Ojr. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции f(r cosj, r sinj)r,

соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами Dji и Dri. Следовательно (5)

    Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно
    (6)
    Выражение
    dS = r dj dr

называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).

Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами

Где r1(j), r1(j) - однозначные непрерывные функции на отрезке [a, b]. (рис 2). Имеем

    (8)
    Где
    F(r, j) = rf(r cosj, r sinj)
    Пример 1.

Переходя к полярным координатам j и r, вычислить двойной интеграл Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0, 0) (рис 3). Так как

    то применяя формулу (6),
    получим
    Область S определена
    Неравенствами
    Поэтому на основании формулы (8) имеем
    Пример 2.
    В интеграле
    (9)
    перейти к полярным координатам.

Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4).

    В полярных координатах уравнения
    этих прямых записываются
    следующим образом: j=0,
    j=p/4, r cosj=1 и,
    следовательно, область S
    определяется неравенствами
    Отсюда на основании формул
    (6) и(8), учитывая, что
    имеем

рефераты Рекомендуем рефератырефераты
     
Рефераты @2011