Подсказка по алгебре - (шпаргалка)
Подсказка по алгебре - (шпаргалка)
Дата добавления: март 2006г.
Подсказка по алгебре
Формулы сокр. умножения и разложения на множители :
(a±b)І=aІ±2ab+bІ
(a±b)і=aі±3aІb+3abІ±bі
aІ-bІ=(a+b)(a-b)
aі±bі=(a±b)(aІ? ab+bІ),
(a+b)і=aі+bі+3ab(a+b)
(a-b)і=aі-bі-3ab(a-b)
xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+aІxn-3+.... +an-1)
axІ+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
где x1 и x2 — корни уравнения
axІ+bx+c=0
Степени и корни :
ap·ag = ap+g
ap: ag=a p-g
(ap)g=a pg
ap /bp = (a/b)p
apЧbp = abp
a0=1; a1=a
a-p = 1/a
pЦa =b => bp=a
pЦapЦb = pЦab
Цa ; a = 0
Квадратное уравнение
axІ+bx+c=0; (a№0)
x1, 2= (-b±ЦD)/2a; D=bІ -4ac
D>0® x1№x2 ; D=0® x1=x2
D Теорема Виета:
x1+x2 = -b/a
x1Ч x2 = c/a
Приведенное кв. Уравнение:
xІ + px+q =0
x1+x2 = -p
x1Чx2 = q
Если p=2k (p-четн. )
и xІ+2kx+q=0, то x1, 2 = -k±Ц(kІ-q)
Нахождение длинны отр-ка по его координатам
Ц((x2-x1)І-(y2-y1)І)
Логарифмы:
loga x = b => ab = x; a>0, a№0
a loga x = x, logaa =1; loga 1 = 0
loga x = b; x = ab
loga b = 1/(log b a)
logaxy = logax + loga y
loga x/y = loga x - loga y
loga xk =k loga x (x >0)
logak x =1/k loga x
loga x = (logc x)/( logca); c>0, c№1
logbx = (logax)/(logab)
Прогрессии
Арифметическая
an = a1 +d(n-1)
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)n
Геометрическая
bn = bn-1 Ч q
b2n = bn-1Ч bn+1
bn = b1Чqn-1
Sn = b1 (1- qn)/(1-q)
S= b1/(1-q)
Тригонометрия.
sin x = a/c
cos x = b/c
tg x = a/b=sinx/cos x
ctg x = b/a = cos x/sin x
sin (p-a) = sin a
sin (p/2 -a) = cos a
cos (p/2 -a) = sin a
cos (a + 2pk) = cos a
sin (a + 2pk) = sin a
tg (a + pk) = tg a
ctg (a + pk) = ctg a
sinІ a + cosІ a =1
ctg a = cosa / sina , a № pn, nОZ
tga Ч ctga = 1, a № (pn)/2, nОZ
1+tgІa = 1/cosІa , a№p(2n+1)/2
1+ ctgІa =1/sinІa , a№ pn
Формулы сложения:
sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y
sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y
cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y
cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y
tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )
x, y, x + y № p/2 + pn
tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)
x, y, x - y № p/2 + pn
Формулы двойного аргумента.
sin 2a = 2sin a cos a
cos 2a = cosІ a - sinІ a = 2 cosІ a - 1 =
= 1-2 sinІa
tg 2a = (2 tga)/ (1-tgІa)
1+ cos a = 2 cosІ a/2
1-cosa = 2 sinІ a/2
tga = (2 tg (a/2))/(1-tgІ(a/2))
Ф-лы половинного аргумента.
sinІ a/2 = (1 - cos a)/2
cosІa/2 = (1 + cosa)/2
tg a/2 = sina/(1 + cosa ) = (1-cos a)/sin a
a№ p + 2pn, n ОZ
Ф-лы преобразования суммы в произв.
sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)
sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)
cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2
cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2
sin (x+y)
tg x + tg y = —————
cos x cos y
sin (x - y)
tg x - tgy = —————
cos x cos y
Формулы преобр. произв. в сумму
sin x sin y = Ѕ(cos (x-y) - cos (x+y))
cos x cos y = Ѕ(cos (x-y)+ cos (x+y))
sin x cos y = Ѕ(sin (x-y)+ sin (x+y))
Соотнош. между ф-ями
sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2x/2)
cos x = (1-tg2 2/x)/ (1+ tgІ x/2)
sin2x = (2tgx)/(1+tg2x)
sinІa = 1/(1+ctgІa) = tgІa/(1+tgІa)
cosІa = 1/(1+tgІa) = ctgІa / (1+ctgІa)
ctg2a = (ctgІa-1)/ 2ctga
sin3a = 3sina -4sinіa = 3cosІasina-sinіa
cos3a = 4cosіa-3 cosa=
= cosіa-3cosasinІa
tg3a = (3tga-tgіa)/(1-3tgІa)
ctg3a = (ctgіa-3ctga)/(3ctgІa-1)
sin a/2 = ±Ц((1-cosa)/2)
cos a/2 = ±Ц((1+cosa)/2)
tga/2 = ±Ц((1-cosa)/(1+cosa))=
sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina
ctga/2 = ±Ц((1+cosa)/(1-cosa))=
sina/(1-cosa)= (1+cosa)/sina
sin(arcsin a) = a
cos( arccos a) = a
tg ( arctg a) = a
ctg ( arcctg a) = a
arcsin (sina) = a ; aО [-p/2 ; p/2]
arccos(cos a) = a ; a О [0 ; p]
arctg (tg a) = a ; a О[-p/2 ; p/2]
arcctg (ctg a) = a ; a О [ 0 ; p]
arcsin(sina)=
1)a - 2pk; aО[-p/2 +2pk; p/2+2pk]
2) (2k+1)p - a; aО[p/2+2pk; 3p/2+2pk]
arccos (cosa) =
1) a-2pk ; aО[2pk; (2k+1)p]
2) 2pk-a ; aО[(2k-1)p; 2pk]
arctg(tga)= a-pk
aО(-p/2 +pk; p/2+pk)
arcctg(ctga) = a -pk
aО(pk; (k+1)p)
arcsina = -arcsin (-a)= p/2-arccosa =
= arctg a/Ц(1-aІ)
arccosa = p-arccos(-a)=p/2-arcsin a=
= arc ctga/Ц(1-aІ)
arctga =-arctg(-a) = p/2 -arcctga =
= arcsin a/Ц(1+aІ)
arc ctg a = p-arc cctg(-a) =
= arc cos a/Ц(1-aІ)
arctg a = arc ctg1/a =
= arcsin a/Ц(1+aІ)= arccos1/Ц(1+aІ)
arcsin a + arccos = p/2
arcctg a + arctga = p/2
Тригонометрические уравнения
sin x = m ; |m| = 1
x = (-1)n arcsin m + pk, kО Z
sin x =1 sin x = 0
x = p/2 + 2pk x = pk
sin x = -1
x = -p/2 + 2 pk
cos x = m; |m| = 1
x = ± arccos m + 2pk
cos x = 1 cos x = 0
x = 2pk x = p/2+pk
cos x = -1
x = p+ 2pk
tg x = m
x = arctg m + pk
ctg x = m
x = arcctg m +pk
sin x/2 = 2t/(1+t2); t - tg
cos x/2 = (1-tІ)/(1+tІ)
Показательные уравнения.
Неравенства: Если af(x)>( 1) a>1, то знак не меняеться.
2) a Логарифмы : неравенства:
logaf(x) >( 1. a>1, то : f(x) >0
j(x)>0
f(x)>j(x)
2. 00
j(x)>0
f(x) 3. log f(x) j(x) = a
ОДЗ: j(x) > 0
f(x) >0
f(x ) № 1
Тригонометрия:
1. Разложение на множители:
sin 2x - Ц3 cos x = 0
2sin x cos x -Ц3 cos x = 0
cos x(2 sin x - Ц3) = 0
......
2. Решения заменой ......
3.
sinІ x - sin 2x + 3 cosІ x =2
sinІ x - 2 sin x cos x + 3 cos І x = 2 sinІ x + cosІ x
Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0,
а такое невозможно, => можно поделить на cos x
Тригонометрические нер-ва :
sin a і m
2pk+a1 = a = a2+ 2pk
2pk+a2 = a= (a1+2p)+ 2pk
Пример:
I cos (p/8+x) < Ц3/2
pk+ 5p/6< p/8 +x< 7p/6 + 2pk
2pk+ 17p/24 < x< p/24+2pk; ;; ;
II sin a = 1/2
2pk +5p/6 =a= 13p/6 + 2pk
cos a і(=) m
2pk + a1 < a< a2+2 pk
2pk+a2< a< (a1+2p) + 2pk
cos a і - Ц2/2
2pk+5p/4 =a= 11p/4 +2pk
tg aі(=) m
pk+ arctg m =a= arctg m + pk
ctg і(=) m
pk+arcctg m < a< p+pk
Производная:
(xn)’ = nЧ xn-1
(ax)’ = axЧ ln a
(lg ax )’= 1/(xЧln a)
(sin x)’ = cos x
(cos x)’ = -sin x
(tg x)’ = 1/cosІ x
(ctg x)’ = - 1/sinІx
(arcsin x)’ = 1/ Ц(1-xІ)
(arccos x)’ = - 1/ Ц(1-xІ)
(arctg x)’ = 1/ Ц(1+xІ)
(arcctg x)’ = - 1/ Ц(1+xІ)
Св-ва:
(u Ч v)’ = u’Чv + uЧv’
(u/v)’ = (u’v - uv’)/ vІ
Уравнение касательной к граф.
y = f(x0)+ f ’(x0)(x-x0)
уравнение к касательной к графику в точке x
1. Найти производную
2. Угловой коофициент k =
= производная в данной точке x
3. Подставим X0, f(x0), f ‘ (x0), выразим х
Интегралы :
т xn dx = xn+1/(n+1) + c
т ax dx = ax/ln a + c
т ex dx = ex + c
т cos x dx = sin x + cos
т sin x dx = - cos x + c
т 1/x dx = ln|x| + c
т 1/cosІ x = tg x + c
т 1/sinІ x = - ctg x + c
т 1/Ц(1-xІ) dx = arcsin x +c
т 1/Ц(1-xІ) dx = - arccos x +c
т 1/1+ xІ dx = arctg x + c
т 1/1+ xІ dx = - arcctg x + c
Площадь криволенейной трапеции.
Геометрия
Треугольники
a + b + g =180
Теорема синусов
aІ = bІ+cІ - 2bc cos a
bІ = aІ+cІ - 2ac cos b
cІ = aІ + bІ - 2ab cos g
Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит
противопол. сторону напополам.
Биссектриса - угол.
Высота падает на пр. сторону
под прямым углом.
Формула Герона :
p=Ѕ(a+b+c)
_____________
S = Цp(p-a)(p-b)(p-c)
S = Ѕab sin a
Sравн. =(aІЦ3)/4
S = bh/2
S=abc/4R
S=pr
Трапеция.
S = (a+b)/2Ч h
Круг
S= pRІ
Sсектора=(pRІa)/360
Стереометрия
Параллепипед
V=SоснЧР
Прямоугольный
V=abc
Пирамида
V =1/3Sосн. ЧH
Sполн. = Sбок. + Sосн.
Усеченная :
H . _____
V = 3 (S1+S2+ЦS1S2)
S1 и S2 — площади осн.
Sполн. =Sбок. +S1+S2
Конус
V=1/3 pRІH
Sбок. =pRl
Sбок. = pR(R+1)
Усеченный
Sбок. = pl(R1+R2)
V=1/3pH(R12+R1R2+R22)
Призма
V=Sосн. ЧH
прямая: Sбок. =Pосн. ЧH
Sполн. =Sбок+2Sосн.
наклонная :
Sбок. =PпсЧa
V = SпсЧa, а -бок. ребро.
Pпс — периметр
Sпс — пл. перпенд. сечения
Цилиндр.
V=pRІH ; Sбок. = 2pRH
Sполн. =2pR(H+R)
Sбок. = 2pRH
Сфера и шар .
V = 4/3 pRі - шар
S = 4pRі - сфера
Шаровой сектор
V = 2/3 pRіH
H - высота сегм.
Шаровой сегмент
V=pHІ(R-H/3)
S=2pRH
град
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
180°
a
-p/2
-p/3
-p/4
-p/6
0
p/6
p/4
p/3
p/2
2p/3
3p/4
3p/6
p
sina
-1
-Ц3/2
-Ц2/2
- Ѕ
0
Ѕ
Ц2/2
Ц3/2
1
- Ѕ
0
cosa
1
Ц3/2
Ц2/2
Ѕ
0
- Ѕ
-Ц2/2
- Ц3/2
-1
tga
П
-Ц3
-1
-1/Ц3
0
1/Ц3
1
Ц3
О
-Ц3
-1
0
ctga
--
Ц3
1
1/Ц3
0
-1/Ц3
-1
-
n
2
3
4
5
6
7
8
9
2
4
9
16
25
36
49
64
81
3
8
27
64
125
216
343
512
729
4
16
81
256
625
1296
2401
4096
6561
5
32
243
1024
3125
7776
16807
32768
59049
6
64
729
4096
15625
46656
7
128
2181
8
256
6561
-a
p-a
p+a
p/2-a
p/2+a
3p/2 - a
3p/2+a
sin
-sina
sina
-sina
cosa
cosa
-cosa
-cosa
cos
cosa
-cosa
-cosa
sina
-sina
-sina
sina
tg
-tga
-tga
tga
ctga
-ctga
ctga
-ctga
ctg
-ctga
-ctga
ctga
tga
-tga
tga
-tga
|
